期待値とは｜簡単解説
アドミンアドミン
期待値のカンタン語句解説
期待値は、確率的に得られる値の平均値のことです。起こりうる事象で得られる値とそれが起こる確率の積を足し合わせて求めます。確率分布を扱うなかで使われる場合には単に「平均」と呼ばれます。
期待値とは
サイコロを振ったときに出る目やコイントスを行ったときの表裏のような、偶然に支配され確率的に決まる変数のことを確率変数、サイコロを振って出た目の1〜6それぞれの値やコイントスを行って出た表と裏のことを確率変数の実現値（観測値）と呼びます。
期待値は、確率変数の実現値を確率によって加重平均した値、または、実現値と確率の積の総和として求められます。
期待値はEであらわし 、確率変数をX、Xの実現値をx1、x2、・・・xn、それぞれの確率をp1、p2、・・・pnとすると、期待値E[X]は次のようにあらわすことができます。
E[X] ＝ x1p1 ＋ x2p2 ＋ ・・・xnpn ＝ i=1nxipi
これをサイコロを1回振ったときに当てはめると次のようになります。
サイコロを1回振った時に出る目の期待値は以下のようにして求めます。
サイコロのすべての目の出る確率は1/6と等しいため、ここで求めた期待値は1〜6までの目の平均を求めていることになります。
離散型確率分布と連続型確率分布の期待値
冒頭に挙げた期待値の公式 E[X] ＝ i=1nxipiは、確率変数 を自然数で数えることができる離散型確率分布の場合に用います。
長さや重さのように確率変数が連続した値を取る連続型確率分布の場合の確率は確率密度関数の面積であらわされ、連続型変数の場合の期待値は以下の公式で表されます。
E[X] ＝ -∞∞xf(x)dx
連続型確率分布の場合は積分を用いるため離散型確率分布の場合とは求める公式が異なりますが、実現値と確率の積を求めてすべての領域で積算するという基本的な求め方はどちらも同じです。
期待値の性質
以下のような性質をもっているのが期待値の特徴です。
期待値の加法性
期待値はE[X]で表されますが、確率変数XとYの和の期待値E[X＋Y]はE[X] ＋ E[Y]と等しくなります。
E[X＋Y ] ＝ E[X] ＋ E[Y]
サイコロの例に当てはめてみると、サイコロを2回振ったときに出る目の期待値を求めることと同じです。
1回目の確率変数をX、2回めの確率変数をYとすると、
E[X] ＝3.5 、E[Y]＝3.5であり、E[X＋Y] ＝ E[X] ＋ E[Y]＝3.5 + 3.5 ＝7を求めることができます。
期待値の定数倍
確率変数Xを定数倍した期待値は、Xの期待値E[X]を定数倍したものと等しくなります。
E[cX ] ＝ cE[X]
同様にサイコロの例に当てはめると、通常のサイコロの各目に対し2倍の数値が振ってある目の期待値を求める場合と同じです。
通常のサイコロの目 X＝ 1、2、3、4、5、6
E[X] ＝ 3.5
2倍の目が振られたサイコロの目 2X ＝ 2、4、6、8、10、12
E[2X] ＝ 2＋4＋6＋8＋10＋126 ＝ 7
Xを2倍するとE[X]＝3.5の2倍である７となります。
期待値に定数を加える
確率変数Xに定数を加えた X＋tの期待値は、Xの期待値E[X]にtを加えたものと等しくなります。
E[X＋t ] ＝ E[X]＋t
同様にサイコロの例に当てはめると、通常のサイコロの各目に対し定数を加えた数値が振ってあるサイコロの期待値を求める場合と同じです。
通常のサイコロの各目に定数2を加えた数値が振った場合
X＋2 ＝ 3、4、5、6、7、8
E[X＋2] ＝3＋4＋5＋6＋7＋86 ＝ 5.5
Xに定数2を加えたE[X＋2] の期待値5.5はE[X]＝3.5に2を加えた場合と等しくなります。
期待値を用いる具体例
シーズンになると、ついつい気になってしまう（人によっては購入してしまう）宝くじ。期待値はさまざまな場面で用いられますが、宝くじの例など分析を行う典型的な例をいくつかご紹介します。
宝くじの期待値
年末ジャンボ宝くじの期待値を求めてみます。
宝くじは当選金ごとに当たる本数が決まっているため、各当選金額ごとの当たる確率を求めることができます。この場合、当選金が確率変数、各当選金額が実現値、各当選金額の本数を宝ぐじの販売総数で割ったものが実現値の確率ということになります。
2022年年末ジャンボ宝くじの当選金額と当選本数 （販売本数460,000,000本）
| 当選金（円） | 本数（本） | 当選確率 | 当選金✕当選確率（円） | |
|---|---|---|---|---|
| 1等 | 700,000,000 | 23 | 0.000005% | 35 |
| 1等前後賞 | 150,000,000 | 46 | 0.00001% | 15 |
| 1等組違い賞 | 100,000 | 4,577 | 0.000995% | 1 |
| 2等 | 10,000,000 | 92 | 0.00002% | 2 |
| 3等 | 1,000,000 | 920 | 0.0002% | 2 |
| 4等 | 50,000 | 46,000 | 0.01% | 5 |
| 5等 | 10,000 | 1,380,000 | 0.3% | 30 |
| 6等 | 3,000 | 4,600,000 | 1.0% | 30 |
| 7等 | 300 | 46,000,000 | 10.0% | 30 |
| 宝くじの期待値 | 150 | |||
宝くじ1枚当たりの期待値は150円です。宝くじの購入金額が300円なので期待収益率は50%ということになります。
買う枚数が多くなれば当たる確率も高まると考えがちですが、買う枚数が多くなるほど、獲得できる1枚当たりの金額は期待値に収束していきます。
期待効用仮説
経済学の分野では消費者の行動を分析する期待効用仮説に期待値が用いられます。期待効用仮説は、不確実な状況のなかで人は効用の期待値にもとづいて行動するという考え方です。
効用とは、利得による（消費から得られる）満足度であり、不確実な状況下の選択に伴うリスクをどう捉えるかが人によって異なります。
x1とx2の利得を獲得できる期待値 E(x)＝x1p1 ＋x2p2の選択肢がある場合、期待値に対応する期待効用の見積もりを確実性等価、期待値と確実性等価の差をリスクプレミアムといいます。
リスク回避的な人は期待値よりも確実性等価を低く見積もる傾向があり、効用関数は上に凸の曲線が描かれます。反対に、リスク愛好的な人は期待値よりも確実性等価が高いために下に凸の効用関数が描かれることになります。
また、リスク回避的な人は利得が大きくなるにつれて限界効用（利得が1単位増えた場合の効用の増加）が低くなり、リスク愛好的な人は利得が大きくなるほど限界効用が高まるということがいえます。
x1（利得 小）とx2（利得 大）をくじ引きと考えた場合、リスク回避的な人はリスクに対して小さい利得しか獲得できないと考える傾向にあり、リスク愛好的な人はリスクに対して大きな利得を獲得できると考える傾向が強いということです。
デシジョンツリーによる期待値にもとづく投資の意思決定
期待値は投資の意思決定にも使われます。以下の図は、「情報処理技術者試験 応用情報技術者 平成30年春期」で出題された試験問題で、投資と収益の発生確率が与えられたデシジョンツリーから期待値を計算し、収益を最大化できる施策と利益増加額の期待値を求めるものです。
- マーケティング施策aで追加費用60億円を支払う場合と支払わない場合の期待値を比較します。
0.3 ✕ 200億円 ＋0.7 ✕100億円 ー 60億円 ＝ 70億円
追加費用を支払わなかった場合の売上増加額が50億円なので、追加費用60億円を支払う選択肢が採用されます。
- 追加費用60億円を支払うケースの発生確率からマーケティング施策aの期待値を求めます。
0.4 ✕ 70億円 ＋0.6 ✕ 120億円 ー 30億円 ＝ 70億円
マーケティング施策aの期待値は70億円です。
- マーケティング施策bで追加費用40億円を支払う場合と支払わない場合の期待値を比較します。
0.4 ✕ 150億円 ＋0.6 ✕ 100億円 ー 40億円 ＝ 80億円
追加費用bを支払わない場合の売上の増加額が70億円なので、追加費用40億円を支払う選択肢が採用されます。
- 追加費用40億円を支払うケースの発生確率からマーケティング施策bの期待値を求めます。
0.3 ✕ 80億円 ＋0.7 ✕ 140億円 ー 40億円 ＝ 82億円
マーケティング施策bの期待値は82億円であり、マーケティング施策aの70億円よりも大きいので、選択すべきはマーケティング施策bであり、その際の期待値は82億円となります。
まとめ
期待値の考え方はビジネスのさまざまな場面で取り入れることができ、確率にもとづいた予測や意思決定に活用することができます。また、統計を学ぶ上でも確率を扱う場合に理解しておく必要のある統計量なので、サイコロの例を基本として大枠をイメージしておくことが重要です。
